수학 공식... 이해 ? 암기 ?

이 글에 대해서는 3년 전 부터 생각하고 있었는데,
망설이고 망설이고 망설이다가 이번에 적어봅니다.
이 글을 읽어보면 그 이유를 알겁니다.
특정한 어떤 집단을 싸잡아서 욕한다고 느낄 수 있기 때문이지요.
 - Naver '밝히리' 님의 글임을 밝힙니다 ^^

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수학을 가르치는 사람은 크게 두 부류로 나누어진다.
- 이 공식은 중요한 것이니 꼭 암기해 둬라.
- 귀찮게 공식 뭐하러 외우냐? 공식 외우지 마.
나는 둘 중 후자에 속한다.
내 스스로 '암기'라는 것을 무척 싫어해서 나는 영어 단어도 외우지 않았다.
대학교 때 일본어를 F 맞고 재수강 했을 때도, 기말고사 끝날 때까지 히라가나를 외우지 않았다.
그러고도 점수가 80점이 넘은 것이 지금도 신기하다 ㅡㅡ;;
나는 사람의 이름이나 얼굴을 외우는 것도 무척 어려워한다.
이런 내가 과연 수학공식을 외우는데 시간투자를 많이 했을까?
나는 수학 공식을 암기하지 않았다.
그럼에도 불구하고 수학문제 푸는데 불편함을 느끼지 못했다.

내가 이 두 부류의 사람들(교사, 강사 등)을 관찰해본 결과,
수학을 잘 하는 사람, 수학을 잘 가르치는 사람은 공식을 외우라고 하지 않았다.
수학에 대해서 잘 모르는 사람, 수학을 못 가르치는 사람은 공식을 외우라고 했다.
좀 극단적으로 표현하면 다음과 같다.
　수학 공식 외우라고 시키는 교사 = 수학 실력 딸리고 아는게 별로 없다.
　수학 공식 외우지 말라고 하는 교사 = 수학 실력이 있을 뿐 아니라 잘 가르친다.

내가 이렇게 단정하는 여러가지 이유가 있지만, 한가지만을 설명하면 다음과 같다.
어느정도 수학 실력을 갖춘 사람은 그 공식이 나온 이유를 설명할 수 있다.
그 공식의 의미와 사용처도 충분히 알고 있다.
그렇기에 공식을 외우라고 하지 않는다.
공식에 대한 기본적인 이해에 중점을 두고 설명한다.
이해만 하면 나머지는 스스로 할 수 있기 때문이다.

수학 실력이 딸리는 사람은 그 공식이 나오는 이유를 설명 못한다.
그 공식이 의미하는 것과, 그 공식이 어디에 써먹는지를 설명 못한다.
공식을 외우라고 하는 사람은 자기 스스로도 그 공식을 이해하지 못하기에,
학생에게 공식을 설명해 줄 수 없다.
그럼에도 학생들을 가르치려면 한 가지 방법 밖에는 없다.
　이 공식 시험에 자주 나오니까 꼭 암기해라.

나는 학생들에게 수학공식을 외우지 말라고 강조한다.
위에 적은 것이 그 이유이기도 하다.
나는 공식에 대해서 설명하고 이해시킬 수 있으니까.
그렇지만 학생들에게 이런 말을 하지는 않는다.
내가 공식을 외우지 말라고 하는 외적인 이유는 다음과 같다.
　너희들 공식을 몰라서 수학 문제 못 푸냐?
　이 문제를 풀 때 어떤 공식을 적용하는지 몰라서 못 푸는거 아니냐?
　그런데 공식 뭐하러 외우냐?
　문제 풀 때, 책에 나와 있는 공식 보면서 풀어.
　그렇게 몇개 풀면 자연스럽게 공식을 적용하는 방법을 알게 되고
　또한 자연스럽게 공식이 안 잊혀져.
　만약에 그럼에도 공식을 자주 잊어버린다면, 시험보기 전날에만 외우고 잊어버리면 돼.

공식을 외울 필요가 없다는 것을 몇 가지 예를 들어서 설명하겠다.


** 방정식 **

중고등학교에서 해마다 방정식을 배운다.
중1 - 일차방정식, 중2 - 연립방정식, 중3 - 이차방정식
고1 - 삼.사차방정식, 고2 - 지수,로그 방정식 등등...
노인들은 그 지긋지긋한 관절염 때문에 고생하고,
학생들은 그 지긋지긋한 방정식 때문에 고생한다.

나는 방정식 단원을 시작할 때마다 학생들에게 다음과 같은 질문을 꼭 한다.
- 방정식이 뭐냐?
- 방정식의 해(근)가 뭐냐?
- 방정식을 푼다는 말이 무슨 뜻이냐?
- 방정식
　　2x + 3 = 5
　의 해가 x=1 인 이유가 뭐냐?
　(몇몇 학생들은 '방정식을 풀면 그렇게 나와요.' 라고 대답을 하지만,
　'이 방정식을 풀어라.'와 '이 방정식의 해가 x=1 이 맞냐?'는 서로 다른 질문이다.)
중학생의 대부분은 이 질문에 제대로 대답을 못한다.
자기 스스로 수학 잘한다고 하는 학생들도 이런 질문은 대답을 못한다.
내 경험으로는 고등학생들의 80% 정도가 대답을 못한다.
이 글을 읽는 고등학생 중에 대답을 못한다면 반성해야한다. (must have 반성)
이런 상황에서 공식을 외우는게 의미가 있을까?

글의 내용이 너무 길어지므로 여기에 자세히 적을 수는 없지만,
나는 중2 연립방정식을 가르칠 때(혹은 가르친 후에) 물어본다.
- 연립방정식을 푸는 기본적인 원리가 뭐냐?
　무엇만 할 수 있으면 연립방정식을 풀 수 있냐?
　(질문 자체가 구체적이지 않고 굉장히 추상적인 질문이다.)
연립방정식을 푸는 기본 원리는 이렇다.
　수단과 방법을 가리지 않고 미지수 하나를 없앤다.
　이것을 좀 유식한 말로 '소거'라고 한다.
미지수가 2개인 방정식은 못 풀지만, 미지수가 1개인 방정식은 이미 중1때 배웠다.
그러니 못 풀게 뭐있냐?
그리고 이 원리만 깨달으면 미지수가 3개인 일차방정식도 풀 수 있다.

중3 이차방정식을 가르칠 때도 마찬가지로 이런 질문을 한다.
- 이차방정식을 푸는 기본 원리가 뭐냐?
　무엇만 할 수 있으면 이차방정식을 풀 수 있냐?
이 질문에 대한 대답은 다음과 같다.
　어떻게든 인수분해만 할 수 있으면 이차방정식은 풀 수 있다.
인수분해만 하면 2차방정식이 1차방정식으로 변신을 한다.
그러니 못 풀게 뭐있냐?
그리고 이 원리만 깨달으면 3차, 4차 방정식도 인수분해만 할 수 있으면 풀 수 있다.
물론, 2차방정식 중에서 인수분해가 안되는 것이 있다.
그 때를 대비해서 완전제곱꼴을 이용한 풀이, 근의 공식을 이용한 풀이를 배운다.
3,4차 방정식이 인수분해가 안되면?
그런건 고등학교 과정에서는 절대로 안 나온다.
최소한 2차식으로라도 인수분해가 가능하다.

두자리 곱셈을 할 수 있는 사람은 10 자리 곱셈 뿐 아니라, 100 자리 곱셉도 할 수 있다.
이 글을 읽는 고등학생 중에서 100자리 곱셈 못하는 사람이 있는가?
다만 계산이 복잡해서 하기 싫을 뿐이다.
이와 비슷하게 위의 원리만 깨달으면,
미지수 2개인 연립 일차방정식을 풀 수 있는 사람은
원리적으로 미지수가 10개짜리 연립 일차방정식도 풀 수 있다.
3차 방정식을 풀 수 있는 사람은 원리적으로 10차방정식도 풀 수 있다.
다만 계산이 조금 더 복잡할 뿐이다.

중3 이 되면 근의 공식을 열심히 외운다.
하나만 알고 있어도 충분한데, 짝수 공식이라는 공식을 하나 더 외운다.
나는 근의 공식 그까잇거 외우지 말라고 한다.
차라리, 그거 외우는 시간에 근의 공식을 이용하는 문제를 10개 풀으라고 한다.
그러면 공식도 안 잊고, 그 공식 써먹는 방법도 자연스럽게 알게된다.
칠판에 근의 공식을 써 주고, 이거 보면서 이차방정식 풀으라고 해도
　"a, b, c 값을 어떻게 대입해요?"
라고 질문하는 학생이 외워서 어디에 써먹겠는가?
차라리 중1 과정으로 돌아가서 "대입"이 무엇인지를 가르치는게 더 옳지 않을까?


** 기하학 **

나는 중학생에게 직사각형의 넓이를 구하는 공식이
　(가로의 길이) * (세로의 길이)
인 이유를 묻는다.
삼각형의 넓이를 구하는 공식이
　1/2 * 밑변 * 높이
인 이유를 묻는다. 아무도 대답 못한다.

그리고 나 말고는 이런 질문을 하는 사람도 거의 없다. 왜 그러냐고?
나는 이 질문에 대한 대답을 가지고 있기에 자신있게 질문할 수 있다.
수학 교사가 이 질문에 대한 대답을 가지고 있지 않다면, 학생들에게 질문을 할까?
절대 할 수 없다. 스스로 무덤을 파고 싶지 않기 때문이다.

피타고라스....
그거 공식 모르는 사람이 어디있어?
그 공식에 대한 이해가 없기에 문제를 못 푸는 것 아닌가?

나는 고등학생에게 원에 대해서 가르칠 때,
　S = pi r^2,
　L = 2 pi r
인 이유를 묻지만, 대답하는 학생은 거의 없다.
그 이유는 공식은 외워도 공식에 대한 이해가 없기 때문이다.(must have 반성, too)

sine 법칙, 제1,2 cosine 법칙에 대해서도 나는 외우라고 하지 않는다.
다만 어떻게 이 공식이 나왔는지 설명해준다.
그리고 각각의 공식이 어떤 상황에 쓰여지는지 설명해준다.
그리고 그와 관련된 문제 몇개만 풀어보면 정말 공식 잊지 않는다.
경험해 본 사람은 알겠지만,
　c^2 = a^2 + b^2 -2ab cos C
라는 제2코사인법칙을 외우는 것과
삼각형 그림을 보고 이 공식을 적용하여 문제를 푸는 것은 다른 문제다.
공식만 외우는 사람은 그림을 보고 문제를 풀는 것이 무척 어렵다.
그림을 보고 문제는 푸는 방법을 따로 익혀야만 한다.
그리고 그것을 할 수 있는 사람은 공식을 따로 외울 필요가 없다.
거짓말 같지만 정말이다.

삼각함수의 덧셈정리, 배각의 공식, 반각의 공식 등등......
미적분학에서 배우는 수 많은 공식들을 외워야 하는가?
외우지 마라.
sin (75도) 를 못 구하면서 삼각함수의 덧셈정리를 외우는게 무슨 의미가 있는가?
차라리 덧셈정리 외울 시간에
sin (75도), cos(15도) 등을 구하는 연습을 하는 것이 훨씬 남는 장사다.


** 해석학(해석 기하학) **

중2 과정에서 배우는 일차함수
일차함수는 딱 세가지만 알면 끝난다.
　기울기, x 절편, y 절편
이 세가지의 뜻(정의), 성질, 구하는 방법
내가 학생들에게
　'기울기가 뭐냐? x 절편이 뭐냐?' 라는 질문을 하면 대답을 못한다.
　'기울기에는 어떤 성질이 있냐?' 역시 대답 못한다. 그런데
　'기울기 어떻게 구해?' 라고 물으면 'a 요.'라고 대답한다.
아이 참....... 뭔 대답이 이러냐고?
그러면 y = bx + a 에서도 기울기가 a 인가?
차라리 'a 요'라고 대답을 할려면
'일차항의 계수요'라고 대답을 하는게 더 올바른 대답이지....

구하는 방법은 시험에 나온다. 또한 공식도 외운다.
그런데 정말 그 공식을 외우는 것 만으로 충분한가?
아니......
나는 정의와 성질을 모르는데도 문제를 푸는 것이 신기하다.
공식 몰라도 상관 없다.
공식에 대한 올바른 이해(정의와 성질을 아는 것)만 있으면 공식 없어도 푼다.
　'그래프의 기울기가 2 이고 점(1,3)을 지나는 일차함수를 구하시오.'
라는 형태의 문제를 풀 때 나는 공식
　y-y1 = m(x-x1)
을 이용하지 않는다.
공식 이용하지 않고도 문제를 풀 수 있는데 내가 뭐하러 공식을 쓰냐?
이런 문제는 충분히 연습만 하면 읽자마자
　y = 2x+1 이라고 바로 답을 써내려갈 수 있다.
학생들은 내가 계산이 엄청 빨라서 위 공식을 적용한 다음 식을 정리해서 답을 적는다고 생각하지만,
나는 계산을 하면서 답을 적어가는 것이다.
　'그래프가 두 점 (1,3), (3,7) 을 지나는 일차함수를 구하시오.'라는 문제 역시
읽자마자 y = 2x+1 이라고 답을 적을 수 있다.
구체적인 방법은 글로 설명하기 복잡하므로 생략하겠다.

중3 과정에서 배우는 2차함수
1차함수랑 거의 똑같다. 딱 세가지만 알면 된다.
　꼭지점, x 절편, y 절편
이 세가지의 정의, 성질, 구하는 방법
이것만 할 줄 안다면 어지간한 이차함수 문제는 다 풀수 있다.
　'하늘로 대포를 쏘아올렸는데 몇초 후에 땅에 떨어지냐?'
와 같은 형식의 문제 역시 쉽게 풀 수 있다.
공식이 필요하냐고? 전혀 필요 없다.
정말 중요한 것은 공식의 암기가 아니라 이해이다.
자세한 설명은 역시 생략하겠다.

수학I 에서 배우는 수열
　등차수열
　2, 5, 8, 11, 14, 17, ........
　의 일반항을 구하시오.
라는 문제를 풀 때, 학생들은 공식
　an = a + (n-1)d
에 대입한 다음 식을 정리해서 푼다.
그런데 나는 이것 역시 문제를 읽자 마자 바로 답을 써내려 간다.
그러면 고등학생들은 어떻게 그렇게 빨리 계산하냐며 신기해한다.
나는 이렇게 대답해준다.
　나는 다른 사람에 비해서 계산이 느린 편이야.
　그리고 나는 계산하면서 실수를 참 많이해.
　나는 두자리 곱셈도 한참을 생각해야 계산할 수 있다.
　너희들은 나보다 계산을 더 잘하잖아.
　그런데 내가 답은 더 빨리 얻는게 신기하지?
　그 비결은 바로 '공식을 이용하지 않는다.'야.
　공식에 대입해서 머리속으로 그 식을 정리해서 답하려면 나도 한참걸려.
　그런데 공식을 이용하지 않으면 훨씬 빠른데, 내가 뭐하러 공식을 이용하냐?
　공식은
　1.23, 2,45, 3.67, 4.89, ........ 처럼 복잡한 문제를 풀 때나 써먹는거야.
　이런게 아니라면 공식을 이용하지 않는게 훨씬 문제를 빨리 풀 수 있어.

글만으로는 설명을 하기 복잡하기에 역시 생략하겠다.
참고로 일차함수를 구하는 방법과 거의 차이가 없다.
등차수열의 합 구하는 공식, 등비수열, 무한 등비급수 등등......
그 공식을 정말 외워야 하냐고?
아니. 그 공식들에 대한 이해만 있으면 충분하다.


학생들은 미적분을 무척 어려워한다.
그런데 미적분은 정말 쉽다.

접선의 방정식을 구하는 공식
　y - f(a) = f'(a) (x - a)
을 외우지 않아도, 미분에 대한 정확한 이해만 있다면,
　이차함수 y = x^2 + 2x - 1 의 x = 1 에서 접선의 방정식을 구하라.
와 같은 쉬운(!) 문제는 읽는 순간 y = 4x - 2 이라고 답을 적을 수 있다.
이렇게 할 수 없는 학생은 미분을 이해하지 못하는 것이다.
위의 문제가 어렵다고 느낀다면 반성해야 한다. (must have 반성, three)

정말 공식을 외워야 하는가?
아니, 절대로 외우지 말라. 이해만 하면 된다.
어떻게 하면 공식을 이해를 할 수 있는가?
　문제집 볼 필요 없이 교과서만 세번 보면 된다.
결국은 지금까지 내가 계속 했던 이야기를 또 반복하는 것이다.


** 물리 **

물리에도 엄청 많은 공식들이 나온다.
그리고 학생들에게 그 공식을 다 외우라고 시킨다.
허걱!! @.@;;

등가속도 운동 단원에서는 아래의 기본공식 세가지만 알고 있으면 된다.
v = v0 + at
s = v0 t + 1/2 a t^2
2as = v^2 - v0^2

중요한 것은 위 식에서 v, v0, a, t, s 등이 뜻하는게 무엇인지 알아야 하고,
어떠한 상황에서 위 공식이 적용되고, 어떠한 상황에서는 적용되지 않는지를 알아야 한다.
그것만 알면, 이 세가지만 가지고도 적당히 식을 변형시켜가면서 문제 다 풀 수 있다.
위로 던지는 문제, 비스듬히 던지는 문제,
건물 꼭대기에서 수평으로 던졌을 때 날아가는 거리를 구하는 문제 등등... 다 풀 수 있다.

과학 문제를 풀기 위해서 가장 기본적으로 갖추어야 하는 능력 중의 하나는
'그래프의 이해'이다.
v-t 그래프, s-t 그래프 뿐만 아니라,
생물, 화학, 지구과학 등에서 나오는 수 많은 그래프를 보고 이해할 수 있어야 한다.
그렇다면 그 모든 경우를 다 공부해야 할까?
아니다. 어차피 그래프에 관한 기본 개념은 거의 차이가 없다.
그래프 몇 개만 붙잡고 꼼꼼히 분석해 보면 된다.
그러면 처음 보는 그래프도 보면 이해할 수 있다.


물리를 하는데 중요한 능력중의 하나는 '식의 변형'이다.
　물체의 가속도는 작용하는 힘의 크기에 비례한다.
라는 형태의 문장을 이용해서,

첫째는 비례식
　a ∝ F
을 적을 줄 알아야 한다. 주의할 것은 위 식과
　F ∝ a
는 같은 식이 아닌 다른 식이다. 보통 비례식을 적을 때는
　(결과) ∝ (원인)
과 같은 형식으로 적는다.
함수에서도
　y = f(x)
라는 형태가 결국은 아래와 같은 꼴이다.
　(종속변수, 결과) = (독립변수에 관한 식, 원인)

'y는 x의 제곱에 비례한다.'를 비례식으로 적으면 아래와 같다.
　y ∝ x^2
'y는 x에 반비례한다.'를 적으면 아래와 같다.
　y ∝ 1/x
'y는 x의 제곱근에 반비례한다.'를 적으면 아래와 같다.
　y ∝ 1/√x
이러한 것들은 기본적으로 할 줄 알아야 한다.

둘째는 비례식을 이용해서 등식(방정식)을 적을 줄 알아야 한다.
위의 경우에는
　a = k F (단, k 는 비례상수)
와 같이 적을 수 있다.

그리고 마지막 셋째 단계는 비례상수를 결정하는 것이다.
우리는 이미 비례상수가 1/m 이라는 것을 알고 있다.
그러므로 위 식은
　a = (1/m) F
혹은
　a = F/m
이라고 적을 수 있다. 이 식을 이뿌게 정리하면 우리가 잘 알고 있는
　F = ma 라는 식을 얻는다.

이것으로 끝인 것은 아니다.
이 식을 자유롭게 변형하고, 변형한 식을 이해(해석, 분석)할 줄 알아야 한다.
수학만을 한다면 수식을 분석할 필요가 없으나,
물리를 하려면 수식을 분석하는 것이 꼭 필요하다.

　F = ma 라는 식으로 부터
　F ∝ a
　F ∝ m
을 얻을 수 있어야 한다. 첫째식은 우리가 맨 처음에 만들었던 식이다.
둘째 식은 a 가 변하지 않고(상수),  m 이 변할 때(원인이 될 때) 적용하는 식이다.
이 식을 변형하면
　a = F/m 를 얻는데, 역시 이 식으로부터
　a ∝ F
　a ∝ 1/m 을 얻을 수 있어야 한다.

또 식을 변형시키면
　m = F/a 를 얻고, 이로부터
　m ∝ F
　m ∝ 1/a
를 얻을 수 있어야 한다.
이러한 식의 변형이 중요한 이유는,
이 능력만 익히면 물리시간에 배우는 복잡한 문장을 외울 필요가 없기 때문이다.

물체에 작용하는 힘은 가속도에 비례한다.
물체에 작용하는 힘은 질량에 비례한다.
가속도는 물체에 작용하는 힘에 비례한다.
가속도는 물체의 질량에 반비례한다.
질량은 (가속도가 일정할 경우) 물체에 작용하는 힘에 비례한다.
질량은 (힘이 일정할 경우) 가속도에 반비례한다.

이 복잡하고 헷갈리는 6가지 문장을 외우는게 쉬울까?
아니면 F=ma 라는 식으로부터 적당히 변형시켜서 이해하는게 쉬울까?
어떤 사람은 '내가 식을 변형시키느니 차라리 외우고 만다.'는 사람도 있을 것이다.
그렇지만 그것은 아니다.
이러한 능력은 한번만 같추면 두고두고 쓸 수 있기 때문이다.

옴의 법칙을 이야기 해 보자.
　V = IR 이라는 식으로부터 전압, 전류, 저항의 관계를 뽑아내는게 쉬울까?
아니면 해당하는 문장을 외우는게 쉬울까?
이미 식을 변형할 수 있는 능력을 가진 사람은 굳이 문장을 외울 필요가 없다.
뿐만 아니라 여기에
　P=VI 와 같은 식 까지 생각하면 전력, 저항, 전압, 전류 등의 관계를 다 생각해야 한다.
생각해 보라. 이것을 외우는게 쉬울까? 아니면 적당히 식을 변형하는 능력을 키우는게 쉬울까?

기체상태방정식을 이야기해 볼까?
PV = nRT 라는 식 하나만으로 참 많은 이야기를 할 수 있다.
그런데, 정말로......
압력은 부피에 반비례한다.
압력은 분자 수에 비례한다.
압력은 온도에 비례한다.
부피는 압력에 반비례한다.
부피는 온도에 비례한다.
.......
와 같은 것을 외울 생각인가?
나 같으면 기체상태방정식 하나만 익히겠다.



eigenvalue 라는 단어와
vngeeualei 라는 단와 둘 중에 어느것을 외우는게 편할까?
당연히 전자이다.
그런데 영어를 처음 배워서 이제 겨우 알파벳만을 익힌 사람은 어떨까?
둘 다 외우기가 어렵다.

공식도 마찬지이다.
공식에 대한 이해가 있는 사람은 공식을 외우는게 eigenvalue를 외우는 것 만큼 쉽다.
이해가 없는 사람은 공식은 의미없는 문자가 나열된 것이기 때문에 vngeeualei를 외우는 것 처럼 어렵다.

아직도 공식을 암기의 대상으로 생각하는가?
공식은 암기가 아니라 이해해야 한다.
공식은 절대로 외울 필요가 없다.
공식을 외우라고 가르치는 사람의 말을 따를 필요가 없다.
그런 사람은 수학을, 물리를 모르는 사람이다.
수학, 물리를 제대로 할 줄 아는 사람은
공식을 이해하라고 하지 외우라고 하지 않는다.